"Так а зачем им справка? Для учёта?"

Внесу свои два цента. Справки об отсутствии некоторых заболеваний требуют не потому, что государство озабочено будущим потомством или фактом осведомленности другой стороны. Определенные заболевания государство считает угрозой публичному здоровью (туберкулез, СПИД (только в некоторых странах)) в силу их заразности или высокой стоимости лечения, поэтому хочет предотвратить распространение.
В США например на ВИЧ/СПИД не требуют анализы сдавать при получении визы невесты, т.к. это довольно легко контролируется и все получают лечение бесплатно здесь.
А вот проверки на туберкулез драконовские. При малейшем подозрении на флюроографии отправляют на дальнейшие тесты, которые длятся несколько недель. Если что-то найдут - заставят пройти лечение и снова проходить тесты.