Это что-то новенькое, не выпустят они из страны. Тыкните им нормы законодательства под нос, что оформление разрешения на выезд дело сугубо личное.
А для выезда ребенка у Вас должно быть разрешение от отца да. Отдельная доверенность, кроме той, что у Вас разрешение на выезд на пмж для посольства.
Что значит можно подавать одновременно с визой, если для разрешения на выезд нужно основание это и есть та самая виза или разрешение на пребывание, выданное иностранным государством.