Здравствуйте Наташа! Первым делом примите поздравления с победой в процессе. Это решение суда предоставит Вам свободу в дальнейшем. Теперь через 10 дней, когда оно вступит в силу, возьмите обе редакции решения - и полный текст и сокращенную версию, где только резолютивная часть (вторая вам может чаще пригодиться). Надо поставить на нее апостиль в Министерстве юстиции, перевести и заверить нотариально.
Насчет компетентности агенства я не могу судить, никогда не обращалась в них и не пользовалась их услугами, по той причине, что глубоко убеждена, что всю информацию необходимо черпать из надежных и компетентных источников. А в Вашем случае это посольство Великобритании в Украине и их визовый центр. Кстати на сайтах дипломатических учреждений иностранных государств всегда размещено сообщение для соискателей виз - не пользоваться услугами всевозможных агенств, а обращаться к специалистам визовых центров или непосредственно в визовый отдел посольства или консульства. Посольство Великобритании не исключение, на их сайте тоже такое написано  .
Что касается пограничной службы Украины, то для выезда Вам достаточно заграничного паспорта ребенка и решения суда (даже без перевода). Только с отметкой, что оно в силе.
Я очень сомневаюсь, что для оформления визы для воссоединения посольство Великобритании требует оформление выезда на ПМЖ и соответствующую отметку об этом. По той причине, как я Вам и писала ранее, что это право гражданина, а не обязанность. Никто не может принудить Вам оформить этот выезд, следовательно и требований таких быть не может. Уже много лет, как консульский учет дело добровольное, как временный так и постоянный учет не влияет на обслуживание граждан Украины зарубежными дипучреждениями. Знаю людей, которые более 10 лет проживают в Англии, уже гражданство получили, но выезд на ПМЖ за пределы Украины не оформляли.
Я бы Вам рекомендовала узнать перечень необходимых документов в визовом центре, они в курсе всех нововведений и уже потом, если для Вас составит трудности самостоятельно собрать и принести пакет документов на визу, обратиться в агенство. Но тогда сведения у Вам будут из первоисточника и агенство не сможет ввести Вас в заблуждение и требовать то, что не есть необходимым.
Они потребовали только на ребенка "петицию" оформить? Потому что это странно, если на ребенка оформлять, а на Вас нет.
И как я уже Вам писала Выше, чтобы подать такое заявление в миграционную службу, как они требуют, у Вас на руках должна быть либо виза либо разрешение на пребывание в иностранном государстве. А у Вас нет ни того ни другого. Ссылки на регламентирующие документы в одном из коих предыдущих комментариев.