На воссоединение с ребенком подает мать, т.к. она находится в родственных связах с ребенком, а не ее муж. Не имеет значения, когда это воссоединения происходит - параллельно с воссоединением самой женщины к мужу или через определенное время.
Если она не имеет собственного дохода, то в графе, где спрашивают "за чей счет банкет", т.е. за "какие бабки" жить ребенок будет, указывается, что за счет супруга женщины. Супруг должен оформить в ведомстве по делам иностранцев (АБХ) финансовое обязательство, что он будет ребенка содержать. Это тот же самый документ, который оформляют при приглашении гостя, для визы, только другие параграфы указываются. То, что как только тут не называют - и просто приглашение и спонсорское приглашение - называется Verpflichtungserklärung. Кроме этого супруг предоставляет доказательства достаточного дохода для содержания семьи, состоящей из 3 или 4 лиц, в зависимости от того сколько детей хотят ввезти - постоянного дохода. И документы на жилье (или собственность или договор аренды не играет роли), для подтверждения что площади достаточно, т.к. существуют нормы на каждого члена семьи.