"Я не заметила ни слова о фальшивой справке."

И я не заметила ничего кроме упоминания про обязанность уведомить, но это не помешало обсуждать смену фамилий, беготню по инстранциям, квесты, лишние траты, более правильнеы цели для вложения денег и пр. А "справка" это одно из потенциальных последствий неуведомления. Государство не только из праздного интереса, для статистики и от безделия придумало уведомлять об изменениях в гражданском состоянии, когда нашим невестам или женихам для брака нужна справка о брачной правоспособности, они обращаются в ЗАГС, а там нет сведений - не уведомляли, т.к. "относились проще"/не считали нужным/не знали/не хотели... вот оттуда и фальшивая справка, другими словами, та, сведения в которой не соответствуют действительности. Таким образом, можно не только в своей стране заключить новый брак, но и за ее пределами, получив такую справку.