А никакой ответственности нет, можно ли в таком случае говорить об обязанности?
Так, гражданин РФ направляет сведения о факте регистрации/расторжения брака в иностранном государстве не позднее чем через месяц со дня регистрации в орган ЗАГС РФ или консульское учреждение за пределами территории РФ (ч. 4 статьи 13.1 ФЗ «Об актах гражданского состояния»).

В то же время ненаправление таких сведений не влечет признание брака недействительным в России, что подтверждается и судебной практикой.

Ни в законе, ни в подзаконном акте не предусмотрена ответственность за неуведомление гражданином российских органов о регистрации акта гражданского состояния за границей.